
\prob{005A}{二元根式方程}

已知实数$x, y$满足

\[ \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)\left(\sqrt{y^2 + 1} + y\right) = 1 \]

求$x + y$。
\problabels{yellow/代数, green/代数求值问题}

\ans{$x + y = 0$}

\subsection{平方差公式}

基本思路：运用平方差公式消除带根号的项，得到两个方程组，然后通过加减再次消去带根号的项，进而求出$x + y$。

两边同时乘以$\sqrt{x^2 + 1} - x$得

\[ \sqrt{x^2 + 1} - x = \sqrt{y^2 + 1} + y \]

两边同时乘以$\sqrt{y^2 + 1} - y$得

\[ \sqrt{x^2 + 1} + x = \sqrt{y^2 + 1} - y \]

两式相减得

\begin{align*}
  x - (-x) &= -y - y \\
  2x &= -2y \\
  x &= -y \\
  x + y &= 0 \\
\end{align*}

综上，$x + y = 0$。
